Une intersection
de n cylindres à rayon unique a le nombre suivant de facettes
F(n) = n*(n-1)*2
F(1)=0
F(2)=4
On sait
la somme i=1 à n de i
vaut n*(n+1)/2
Nous pouvons donc
conclure
F(n) = n*(n-1)*2
= 4* (somme i=1 à n-1 de i)
= 4* (somme i=1 à n-2 de i) + 4*(n-1)
= F(n-1) + 4*(n-1)
Un n-ème cylindre
forme 4 nouvelles facettes avec chacun des cylindres déjà présent. Il le
rencontre à deux endroits opposés et y scinde chaque fois une facettes dans
deux directions différentes.
P.S.
La formule livre
seulement une limite supérieure pour le nombre de facettes puisque dans des
arrangements symètriques il est possible que beaucoups de petites facettes
disparaissent.